Популярні математичні статті в The New York Times

У численні найбільш упізнаваним символом є знак інтеграла:

Його граціозні лінії викликають в пам’яті образ музичного ключа або скрипковий f-подібний отвір – чудовий збіг, якщо взяти до уваги, що деякі з найбільш захопливих гармоній у математиці виражені інтегралами. Але справжня причина, чому Ляйбніц вибрав цей символ, є менш поетичною. Це просто видовжений знак S, для "підсумовування". Щодо того, що підсумовують, це залежить від контексту. В астрономії гравітаційне тяжіння Сонця стосовно Землі описано інтегралом. Він становить колективне зусилля всіх мікроскопічних сил, генерованих кожним сонячним атомом на їхніх розмаїтих відстанях від Землі. В онкології зростання маси твердої пухлини можна змоделювати інтегралом. Так само можна змоделювати кумулятивний обсяг ліків, прописаних під час курсу сеансів хіміотерапії.

Історично спершу інтеграли виникли в геометрії через проблеми з визначенням площі викривлених форм. Як ми побачили два тижні тому, площу кола можна розглядати як суму багатьох тонких шматків пирога. У межах безкінечно багатьох шматків, кожен з яких є безкінечно тонким, їх можна буде спритно наново укласти у прямокутник, чию площу обчислити набагато легше. Це було типовим використанням інтегралів. Усе, про що в них йде мова, – це саме про те, як узяти щось складне і покроїти та поділити так, щоб було легко все це додати.

У тривимірному узагальненні цього методу Архімед (а перед ним Евдокс Кнідський, близько 400 років до нової ери) обчислив об’єми сфер, конусів, бочок, призм й інших розмаїтих твердих форм, подавши їх як штабель багатьох пластинок або дисків, як тонко порізану салямі. Підрахувавши об’єм різних шматків, а тоді майстерно інтегрувавши їх – додавши знову разом – вони змогли обчислити об’єм оригінального цілого предмета.

Сьогодні ми все ще просимо математиків і вчених, які подають надії, покращити їх уміння інтегрального числення, використовуючи його для вирішення цих класичних геометричних проблем. Вони є одними з найважчих завдань, які ми даємо, і багато студентів ненавидять їх, але немає надійнішого способу, щоб відшліфувати легкість володіння інтегралами, що необхідне для передової праці в будь-якій дисципліні, пов’язаній з числами, від фізики до фінансів.

Одна з таких головоломок стосується об’єму тривимірної ділянки, спільної для двох ідентичних циліндрів, які перетинаються перпендикулярно, як труби від плити на кухні. Щоб зробити чітку візуалізацію цієї форми, потрібно мати неабияку уяву.

Отже, немає нічого ганебного в тому, щоб визнати поразку і шукати спосіб, як зробити цю форму більш уявною. Щоб зробити так, ви можете вдатися до трюку, який використовував мій шкільний учитель математики – візьміть бляшанку і зріжте верх ножицями, щоб сформувати циліндричний інструмент для вирізання серцевини. Тоді виріжте серцевину у великій картоплині з Айдахо або шматок пінопласту з двох взаємно перпендикулярних напрямів. Огляньте, не поспішаючи, форму, яку ви отримали в підсумку.

Не маючи ні картоплини, ні пінопласту, ми повинні погодитися вирішити це намаганням передати на плоскій поверхні, як виглядає це дивне тіло:

Дивовижно, навіть хоча вона створена з двох круглих циліндрів, вона має квадратні поперечні розтини. Це штабель з безкінечно багатьох шарів, кожен з яких є квадратом, конусоподібний від великого квадрату в середині і спадаючий поступово до менших квадратів, і нарешті до одних точок на верху і на дні.

Тепер комп’ютерна анімація робить можливим розкрити структуру форми набагато легше і наочніше.

Усе ж зобразити форму – це просто перший крок. Залишається визначити її об’єм.

Архімед зміг обчислити її, але тільки завдяки своїй неймовірній винахідливості. Він використав механічний метод, який базувався на важелях і центрах гравітації, фактично подумки, зважуючи форму, порівнюючи її з іншими, які він уже розумів. Вадою його підходу, крім потреби в надто високих здібностях, було те, що він застосовний тільки до обмеженого ряду форм.

Ці концептуальні дорожні блоки ставили в безвихідь найкращих математиків світу протягом наступних 19 століть… аж до середини 1600-х, коли Грегорі, Барроу, Ньютон і Ляйбніц установили те, що сьогодні відомо як фундаментальна теорема числення, або формула Ньютона-Ляйбніца. Фундаментальна теорема є потужним зв’язком між інтегралами і темою попередньої колонки – похідними. Вона значно розширює всесвіт інтегралів, які можна розв’язати, і зводить їх числення до важкої механічної роботи. У наші дні комп’ютери можна запрограмувати на її використання – і так само можуть робити студенти. З її допомогою навіть проблема двох перпендикулярних труб, що свого часу була викликом світового класу, тепер стає вправою в межах, доступних для вирішення звичайному студентові.

Непрактично описувати тут саму формулу. Натомість я спробую пояснити, чому вона є таким неймовірним проривом. Вона дозволила математикам значно точніше передбачити змінюваність світу, ніж це коли-небудь було можливо.

Найпростіший вид змін можна було обчислити за допомогою алгебри. Коли щось змінюється постійно, з постійною швидкістю, алгебра працює чудово. Це сфера формули "відстань дорівнює швидкості, помноженій на час". Наприклад, автомобіль, який рухається з незмінною швидкістю 60 миль за годину, проїде 60 миль за першу годину і 120 миль на кінець другої години.

А як щодо змін, які відбуваються зі змінною швидкістю? Така змінна швидкість всюди навколо нас – у зростанні швидкості пенні, кинутого з високого будинку, у потоках відпливів і припливів, в еліптичній орбіті планет, у наших внутрішніх добових ритмах. І числення може справитися з кумулятивними ефектами змін, настільки неоднакових, як ці.

Майже протягом двох тисячоліть після Архімеда існував тільки один метод передбачити чистий ефект змінних змін: додавати різні пласти один за одним. У більшості випадків це неможливо зробити. Було надто важко обчислити безкінечні суми.

Формула Ньютона-Ляйбніца дала змогу вирішити багато із цих проблем – не всі, але значно більше, ніж перед тим. Вона часто давала коротший шлях для розв’язання інтегралів, принаймні для елементарних функцій (сум і продуктів степенів, експоненціальних функцій, логарифмів і тригонометричних функцій), що описують так багато явищ у світі природи.

Із цієї перспективи спадком інтегрального числення є погляд на всесвіт у стилі кухонного комбайна Veg-O-Matic, який нарізає овочі плястерками. Ньютон і його наступники вчили нас, що природа розкривається шарами. Виявилося, що фактично всі класичні закони фізики, відкриті за останні 300 років, мають цей характер: описують вони рух частинок чи потік тепла, електрики, рух повітря чи води. Разом із законами регулювання, умови на кожному відтинку часу чи простору визначають, що трапиться на наступних відтинках.

Наслідки були глибокими і суттєвими. Уперше в історії стало можливим раціональне передбачення… не тільки одного пласта якоїсь миті, але з допомогою формули Ньютона-Ляйбніца – за допомогою стрибків і відскоків.

Отже, нам давно потрібно поновити наше гасло для позначення інтегралів з "Вони нарізають, вони ділять на кубики" на "Перерахунок. Кращий маршрут доступний".

Автор: Стівен Строґатц [Steven Strogatz]
Назва оригіналу: It Slices, It Dices
Джерело: The New York Times, 18.04.2010
Зреферував: Михайло Мишкало

Виробники матраців рекомендують періодично перевертати матраци, можливо, пам’ятаючи про людей, подібних до мене. Але яка система найкраща? Як насправді ви мали б повернути матрац, щоб у результаті отримати найбільш рівномірне його зношення?

Браян Гейс [Brian Hayes] досліджує цю проблему у своїй останній книжці "Теорія груп у спальні" [Group Theory in the Bedroom] – в однойменному есеї. Якщо відкинути двозначні ситуації, "група", про яку тут йдеться, – це сукупність математичних дій: усі можливі способи того, як ви можете перекинути, повернути чи перевернути матрац, щоб він усе ще акуратно лежав на рамі ліжка.

Докладно розглядаючи математику матраца, я сподіваюся більш загально передати вам відчуття теорії груп. Це одна з найбільш різносторонніх частин математики. Вона лежить в основі всього: від хореографії контра-денсингу (стиль танцю, коли пари стоять одна напроти одної) і фундаментальних законів фізики елементарних частинок до мозаїк Альгамбри і їх хаотичних двійників, як оце зображення.

Як свідчать ці приклади, теорія груп перекидає мости між наукою і мистецтвом. Вона звертається до чогось, що є спільним для двох культур – до постійного захоплення симетрією. Однак оскільки теорія груп містить такий широкий ряд феноменів, то обов’язково є абстрактною. Вона зводить симетрію до її суті. Зазвичай ми думаємо про симетрію як про властивість форми. Але теорії груп зосереджуються більше на тому, що ви можете зробити з формою – надто на всіх способах, за допомогою яких ви можете змінити її, при цьому залишаючи незмінним щось, що властиво їй. Якщо точніше, вони шукають усі трансформації, які залишають форму незмінною, взявши до уваги певні обмеження. Ці трансформації називають "симетріями" форми. Разом вони формують "групу", сукупність трансформацій, зв’язки між якими визначають найбільш базову архітектуру форми.

Якщо йдеться про матрац, то трансформації змінюють його положення в просторі (це те, що змінюється), водночас підтримують його негнучкість (це обмеження). І після того, як розвіється дим, матрац повинен акуратно лягти в прямокутну раму ліжка (це те, що залишається незмінним). Подивімося із цими правилами, які трансформації кваліфікують як членство в цій маленькій ексклюзивній групі. Виявляється, тільки чотири з них.

Перша трансформація "нічого не робити", лінивий, але популярний вибір, який залишає матраци недоторканими. Вона, звичайно, відповідає всім правилам, але це не надто допомагає продовжити життя вашого матраца. Усе ж дуже важливо включити її в групу. Для теорії груп вона відіграє ту саму роль, що й нуль для додавання чисел або 1 для множення. Математики називають її "елементом ідентичності", отже, я позначив її символом I.

Наступними будуть три справжні способи перекидання матраца. Щоб розрізняти їх, корисно буде позначити цифрами кути матраца:

Перший спосіб перекидання зображено на початку цього тексту. Симпатичний джентльмен у смугастій піжамі намагається перекинути матрац, повертаючи його на 180 градусів навколо довгої осі рухом, який я назву H – "горизонтальне перекидання".

Більш відважний і нерозсудливий спосіб перекинути матрац – це "вертикальний поворот" V. Цей маневр міняє місцями голову і ноги матраца. Ви повинні поставити матрац вертикально, довгим кінцем так, що він майже сягне стелі, а тоді штовхнути його кінець через голову. Чистий ефект, крім надзвичайного глухого удару, полягає в тому, щоб повернути матрац на 180 градусів навколо осі, як це показано внизу.

Остання можливість – це крутонути матрац на 180 градусів, при цьому не піднімаючи його з ліжка.

На відміну від поворотів H і V, це "обертання" R тримає нагорі верхню поверхню. Це стане очевидно, якщо ми поглянемо на матрац зверху – тепер уявіть, що він є прозорим, і простежте за числами в куті кожної з можливих трансформацій.

Горизонтальне перевертання повертає числа у їх дзеркальні відображення. Він також переставляє їх так, що 1 і 2 міняються місцями, як 3 і 4.

Вертикальне перевертання переставляє числа по-іншому і ставить їх з ніг на голову, крім їх дзеркальних зоображень.

Проте обертання не генерує жодних дзеркальних образів. Воно просто повертає числа догори ногами, цього разу змінюючи 1 на 4 і 2 на 3.

Ці деталі не є головною ідеєю. Важливо те, як трансформації пов’язані одна з одною. Зразки їх взаємодії кодують симетрію матраца.

Зображення наступної діаграми допоможе нам показати ці зразки із мінімальною затратою зусиль. (У новій чудовій книжці "Візуальна теорія груп" [Visual Group Theory] Натана Картера [Nathan Carter] досить образів, як оцей. Це один з найкращих вступів до теорії груп – або до будь-якого розділу вищої математики, який я коли-небудь читав).

У кутах діаграми показано чотири можливі "стани" матраца. Верхній ліворуч є стартовим пунктом. Кольорові стрілки показують рух матраца з одного стану в інший.

Наприклад, зелена стрілка, яка показує рух з верхнього лівого до нижнього правого кута, відображає дію обертання R. Також та сама зелена лінія має стрілку з іншого боку, бо якщо ви двічі зробите R, то це рівнозначно "нічого не робити".

Це не повинно дивувати. Це просто означає, що перекинути матрац з ніг на голову, а потім ще раз – те саме, що повернути матрац до його початкового стану. Ми можемо належно підсумувати це рівнянням RR = I, де RR означає двічі робити R, а I – це "нічого не робити", елемент ідентичності. Тому горизонтальне і вертикальне перевертання-трансформації також анулюють самі себе: HH = I і VV = I.

Діаграма містить багато іншої інформації. Наприклад, вона показує, що зухвалий вертикальний поворот V еквівалентний HR, горизонтальному повороту, за яким слідує обертання – набагато безпечніший шлях для досягнення того самого результату. Щоб перевірити це, почніть зі стартового стану у верхньому лівому куті. Голова матраца слідує на схід вздовж H до наступного стану, а звідти діагонально рухається на південний захід уздовж R. Оскільки ви доходите до того самого стану, який отримали б, якби просто виконали спочатку V, діаграма демонструє, що HR = V.

Зауважте також, що порядок виконання цих дій не має значення: HR = RH, оскільки обидва способи приводять до V. Ця байдужість до порядку актуальна для будь-якої пари дій. Ви повинні думати про це як про узагальнення комутативного закону додавання простих чисел, x і y, згідно з яким x + y = y + x. Але будьте уважні: матрацна група є особливою. Багато інших груп порушують комутативний "закон". Ті, кому пощастило дотримуватися його, є особливо чистими і простими.

І тепер до результату. Діаграма показує, як отримати спосіб найбільш рівномірного зношення матраца. Будь-яка стратегія, яка періодично застосовує всі чотири стани, спрацьовуватиме. Наприклад, чергування R і H зручне, оскільки воно, оминаючи V, не вимагає значних зусиль. Щоб допомогти вам запам’ятати це, деякі виробники пропонують мнемоніку "крутіння навесні і переворот восени" ["spin in the spring, flip in the fall"].

Матрацна група з’являється в деяких зовсім неочікуваних місцях, від симетрії молекул води до логіки пари електричних перемикачів. Це одна з чарівних рис теорії груп. Вона показує єдність речей, які в іншому разі здавалися б непов’язаними між собою… Немов анекдот про те, як фізик Ричард Фейнман [Richard Feynman] отримав відстрочку від призову в армію.

Військовий психіатр попросив Фейнмана виставити руки так, щоб він міг оглянути їх. Фейнман витягнув їх, одна долоня вверх, інша вниз. "Ні, по-іншому", – сказав психіатр. Тож Фейнман повернув обидві руки, залишивши одну долоню донизу, іншу догори.

Фейнман не просто грав у розумову забаву; він насолоджувався гумором теорії груп. Якщо ми розглянемо всі можливі способи того, як він міг виставити свої руки, плюс розмаїті переходи між ними, стрілки сформують той самий зразок, що й у матрацній групі!

Але якщо все це робить справу з матрацами надто складною, можливо, справжній уроком є той, який ви вже знаєте: якщо щось не дає спокою, просто подумайте про це перед сном.

Автор: Стіве Строґатц [Steven Strogatz]
Назва оригіналу: Group Think
Джерело: The New York Times, 02.05.2010
Зреферував: Михайло Мишкало